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RIEMANN ATTAQUÉ PAR LES STATISTIQUES

 


MATHÉMATIQUES


Riemann attaqué par les statistiques


mathématiques - par Benoît Rittaud dans mensuel n°407 daté avril 2007 à la page 28 (455 mots) | Gratuit
Les mathématiciens butent sur la démonstration de la conjecture de Riemann depuis plus d'un siècle. À défaut de la trouver enfin, certains se concentrent sur des aspects statistiques.

Il y a cent quarante ans, le mathématicien allemand Bernhard Riemann a posé une question devenue aujourd'hui l'une des plus fameuses de toutes les mathématiques : déterminer si, oui ou non, les seules valeurs s pourlesquelles la fonction <03B6>s = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s +... est égale à zéro sont de « partie réelle égale à 1/2 » à quelques exceptions près, que l'on connaît et qui peuvent ici être négligées.L'énoncé peut sembler abscons, et pourtant la question est d'une importance cruciale pour les mathématiques.En effet, comme le Suisse Leonhard Euler l'avait déjà établi au XVIIIe siècle, cette « fonction zêta de Riemann » <03B6> s est intimement liée aux nombres premiers, ces nombres qui ne sont divisiblesque par eux-mêmes et par 1, et en particulier à leur répartition parmi les entiers.

Kannan Soundararajan, professeur de mathématiques à l'université Stanford, s'est concentré sur un aspect bien précis du problème : il s'est fixé pour objectif d'évaluer le nombre de « zéro » de la fonction <03B6> s ,c'est-à-dire le nombre de solutions à l'équation <03B6> s = 0 lorsque s = 1/2 + iT, à mesure que T devient grand. Il est parvenu à démontrer que, si l'on considère que la conjecturede Riemann est vraie, alors le nombre de solutions de <03B6> s = 0 peut être connu de façon précise [1] . Il affine ainsi des résultats obtenus il y a plusieurs décennies par le mathématicienbritannique John Littlewood.

Comment comprendre la conjecture de Riemann et la démarche de K. Soundararajan ? Pour une certaine fonctionappelée <03B6> peu importe ici son allure exacte qui associe une valeur à chaque point du plan,il s'agit donc de déterminer les points pour lesquels la valeur de <03B6> est zéro. Riemann savait que, pour les points placés sur l'axe des abscisses et dont les ordonnées sontégales à - 2, - 4, - 6, etc., la fonction <03B6> s'annule. Pour ces points, on peut conduire une étude directe et assez simple. Par ailleurs, Riemann pensait qu'en dehors deces points les seuls pour lesquels <03B6> vaut zéro sont situés sur la droite d'abscisse 1/2 - ce qui n'exclut pas qu'il y ait d'autres points d'abscisse 1/2 pour lesquels <03B6> s n'est pas égal à zéro.

Bien des mathématiciens rêvent en secret de venir à bout de la conjecture de Riemann,mais les verrous de sa démonstration ne semblent pas être prêts à sauter. Aussi, certains tâchent-ilsde s'attaquer à des problèmes voisins, plus simples et, surtout, susceptibles d'ouvrir de nouvelles pistes.

En choisissant l'angle des statistiques, K. Soundararajan contribue de cette manière à préparerle terrain pour une démonstration qui reste à trouver.

Par Benoît Rittaud

 

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DES POLYNÔMES POUR ÉTUDIER LES ROBOTS

 


MATHÉMATIQUES


Marie-Françoise Roy : « Des polynômes pour étudier les robots »

mathématiques - par Propos recueillis par Benoît Rittaud dans mensuel n°404 daté janvier 2007 à la page 27 (388 mots) | Gratuit
L'Agence nationale pour la recherche vient de sélectionner le projet Siropa, dédié à la classification des singularités dans les mouvements de robots actionnés par des « jambes » indépendantes.

Qu'est-ce que les mathématiques peuvent apporter à l'étude du mouvement des robots ?

Marie-Françoise Roy : Il s'agit de décrire la zone géométrique que peut atteindre un robot, suivant la longueur de ses « jambes ».

Les changements de forme de cette zone correspondent à

des longueurs particulières qu'il s'agit de comprendre. C'est le but du projet Siropa, porté notamment par Jean-Pierre Merlet, de l'Inria de Nice, et Philippe Wenger, de l'Institut

de recherche en communication et cybernétique de Nantes.

Quelles sont les équations en jeu dans ces questions ?

Ce sont des équations polynomiales, c'est-à-dire que leurs inconnues n'interviennent qu'au travers de leurs puissances entières : x , x 2, x 3, etc. Elles ont des solutions soit « réelles », soit « complexes », ces dernières sortant du champ de la robotique. Nous avons donc affaire à la « géométrie algébrique réelle » : « géométrie » pour décrire des zones de l'espace, « algébrique » car les équations sont polynomiales, « réelle » car on ne retient que les solutions réelles, et non complexes.

Pourtant, à l'origine, la géométrie algébrique réelle ne semblait guère destinée à être ainsi appliquée ?

En 1939, le logicien polonais Alfred Tarski voulait savoir si la géométrie euclidienne classique est décidable, c'est-à-dire en quelque sorte si un ordinateur peut démontrer n'importe quel résultat de cette géométrie. Il a répondu par l'affirmative, faisant de la géométrie classique une sorte d'îlot de décidabilité au sein des mathématiques, dont Gödel avait montré quelques années plus tôt le caractère indécidable, en général. On était en effet bien loin des robots !

L'existence de ces applications a donc été une surprise ?

Pas tant que ça. En fait, dès le XIXe siècle et les travaux du Suisse Jacques Sturm sur le nombre de solutions réelles d'un polynôme, il y avait des calculs pratiques. Mais c'est il y a seulement vingt-cinq ans environ que les mathématiciens ont vraiment jeté des ponts. Notamment grâce à Jacob Schwarz et Micha Sharir, qui ont étudié comment déménager un piano le « robot » en présence d'obstacles. Désormais, en plus de son volet théorique qui demeure bien vivant, la géométrie algébrique réelle a donc des liens reconnus avec les applications.

Par Propos recueillis par Benoît Rittaud


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LA BEAUTÉ INTÉRIEURE DES FORMULES

 


MATHÉMATIQUES
La beauté intérieure des formules


mathématiques - par Benoît Rittaud dans mensuel n°403 daté décembre 2006 à la page 28 (523 mots) | Gratuit
Les formules mathématiques ne sont-elles qu'utiles ? Certaines sont « belles » avant tout. Et cela suffit à motiver les mathématiciens pour les étudier.

Parmi les grandes formules qui font rêver les mathématiciens, il en est certaines qui, par-delà leur intérêt technique, semblent surtout être l'expression d'une sorte de beauté. Ces « belles formules » ne cessent d'intriguer les mathématiciens, comme en témoignent les résultats récents de Simon Plouffe, de l'université du Québec, à Montréal, ou de Linas Vepstas, de la société IBM [1,2] . Tous deux se sont inspirés des travaux de Srinivasa Ramanujan, un mathématicien indien dont la vie fut aussi extraordinaire que ses formules.

Ramanujan s'initia aux mathématiques de façon presque entièrement autodidacte, réinventant sans l'aide de quiconque tout un pan de la théorie des nombres. Mû par une intuition dont les mathématiciens n'ont pas percé tous les ressorts, il a découvert diverses formules, dont certaines impliquent le nombre pi , la racine carrée de 2, ainsi que des nombres à première vue tout à fait banals, comme 9801, 1103, 26390 ou 396.

Inspiré par les carnets de Ramanujan, Simon Plouffe a découvert en avril dernier un ensemble de formules nouvelles, mettant notamment en scène le nombre pi , le nombre e la « base des logarithmes népériens », une constante fondamentale des mathématiques qui vaut environ 2,718 et enfin la fonction zêta de Riemann. Cette dernière est l'une des fonctions les plus étudiées aujourd'hui, notamment pour ses liens avec la « conjecture de Riemann », qui est associée à la question de la répartition des nombres premiers et qui passe pour l'un des problèmes les plus importants des mathématiques actuelles.

Un nombre s étant donné, la valeur s s'obtient en calculant la somme infinie de tous les nombres de la forme n s. Cette fonction est liée au nombre pi : on sait notamment depuis Leonard Euler que 2, c'est-à-dire la somme des inverses des carrés soit 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/25 +... est égale à pi 2/6. Plus généralement, on sait aujourd'hui exprimer s pour tout entier pair s .

Lorsque s est impair, en revanche, on ne sait pratiquement rien sur s . C'est à partir de calculs menés sur ordinateur que Simon Plouffe a découvert de nouvelles formules, dont plusieurs concernent les valeurs prises par s lorsque s est un entier impair. Un peu compliquées à écrire, elles consolident les ponts jetés par Ramanujan entre des valeurs a priori sans lien les unes avec les autres.

Par exemple, l'une des nouvelles formules ainsi découvertes exprime la valeur de 7 comme la différence entre la valeur 19 pi 7/56700 et la somme de tous les nombres de la forme 2/n7e2 pi n- 1 pour n entier. Dans une prépublication, Linas Vepstas vient de reprendre ces formules pour les intégrer à des résultats plus généraux qui permettent de mieux comprendre la façon dont ces identités s'obtiennent. D'autres formules ainsi obtenues permettent d'exprimer la valeur s pour tous les entiers impairs s à partir de constantes comme pi ou e . Utile ? Nul ne le sait encore. Mais ces liens inattendus sont, pour l'amateur de mathématiques, l'expression d'une certaine beauté.

Par Benoît Rittaud

 

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UN THÉORÈME DE THÉORIE DES GROUPES ...

 


MATHÉMATIQUES
Un théorème de théorie des groupes vérifié par ordinateur


mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°471 daté janvier 2013 à la page 18 (603 mots) | Gratuit
En codant de nombreuses théories d'algèbre, des informaticiens sont parvenus à vérifier par ordinateur la démonstration d'un important théorème de théorie des groupes. Ce succès ouvre la voie à la vérification de problèmes mathématiques difficiles.

Pourquoi teniez-vous à vérifier le théorème de Feit-Thompson ?

G.G. Nous voulions voir si nous pouvions utiliser des assistants de preuve, systèmes qui permettent la vérification de démonstrations mathématiques, pour des théorèmes de mathématiques « sérieux ». Nous avions vérifié, en 2005, le « théorème des quatre couleurs ». Mais sa preuve utilisant uniquement la combinatoire, nous voulions aller plus loin et être capables de vérifier des pans entiers d'algèbre. Le théorème de Feit-Thompson, selon lequel tout groupe qui contient un nombre impair d'éléments est « résoluble », est la pierre angulaire d'un gros programme de théorie des groupes baptisé « classification des groupes finis ».

Quel était le statut de ce théorème ?

G.G. Sa démonstration, publiée en 1963 par Walter Feit et John Thompson, était alors la plus longue parue. Avec ses 250 pages, c'était du jamais-vu à une époque où les preuves de théorie des groupes ne dépassaient guère 20 pages. Pendant une quinzaine d'années, du fait de cette dimension et de la difficulté à suivre le raisonnement de la preuve, des doutes ont perduré sur sa validité. Les résultats qui en découlaient étaient notés d'un astérisque, au cas où le résultat serait finalement faux...

La preuve est-elle aujourd'hui considérée comme valide ?

G.G. La dernière version de la preuve révisée a été publiée en 1995 et 2000 dans deux ouvrages. Elle est effet considérée comme validée, mais n'est guère moins longue. Si nous avons cherché à la vérifier, c'était pour nous attaquer à une preuve réputée difficile et qui faisait appel à de nombreux domaines des mathématiques. Au final, le but de l'exercice n'était pas tellement de vérifier la preuve, mais plus de comprendre comment formaliser et codifier dans un assistant de preuve toutes les théories sur lesquelles elle s'appuie. Autrement dit, l'essentiel du projet consistait à comprendre comment coder une part non négligeable de la théorie des nombres, toute l'algèbre linéaire, un peu d'algèbre abstraite. Une fois codées, ces théories peuvent être réutilisées pour vérifier d'autres démonstrations, qui y feraient appel.

Comment vous y êtes-vous pris ?

G.G. Le gros du travail a été de traduire la preuve et les théories sous-jacentes en un programme vérifiable et surtout utilisable. C'est pour cela que le projet dans le cadre duquel nous avons travaillé s'appelle « composants mathématiques », car l'idée consistait à comprendre comment présenter une théorie mathématique de manière similaire à un composant logiciel (lire l'encadré, ci-dessus). Au final, la preuve codée dans un langage spécifique représente 170 000 lignes de code informatique. Sur cet ensemble, un tiers seulement consiste en la preuve elle-même, le reste étant le codage des théories sous-jacentes.

Quel assistant de preuve avez-vous utilisé ?

G.G. Nous avons utilisé Coq, système qui interprète le code de la preuve et vérifie sa cohérence logique. C'est déjà avec Coq qu'avait été vérifié le théorème des quatre couleurs. Son avantage sur d'autres assistants de preuve est qu'il utilise une logique très expressive, c'est-à-dire dans laquelle on peut avoir des énoncés riches de sens. Mon expérience est que pour faire de l'algèbre, notamment de la théorie des groupes, cette richesse est nécessaire ; elle permet d'extraire un maximum de sens à partir d'un minimum de symboles. Tout n'est pas encore entièrement automatisé - la part de codage de la preuve reste un gros travail -, mais le succès de notre projet montre la maturité de ces outils pour attaquer des problèmes d'algèbre réputés difficiles.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

 

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